INTEGRAIS E SÉRIES DE GRACELI

FUNÇÕES GRACELI ZETA-GAMA.

P = PROGRESSÃO.

K = NÚMERO VARIÁVEL..

Função digama

\psi (s)

no plano complexo. A cor de um ponto

s

representa o valor de

\psi (s)

. Cores fortes representam valores próximos de zero e matizes representam os valores

Em matemática, as funções poligama são definidas como a n-ésima derivada da função psi, que é a derivada logarítmica da função gama:[1]

\psi ^{(n)}=(d/dx)^{n}\psi (x)=(d/dx)^{n+1}\ln {\Gamma (x)}\,

A função digama também é chamada de função Psi.[2]

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] [-,+, *, / ] $\psi _{n}(z)$ dx=

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] / $\zeta (s)$ [-,+, *, / ] $\Gamma (z)$ [-,+, *, / ] $\psi _{n}(z)$ dx=

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] / $\Gamma (z)$ [-,+, *, / ] $\zeta (s)$ [-,+, *, / ] $\psi _{n}(z)$ dx=

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] [-,+, *, / ] $\psi _{n}(z)$ dx=

Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

Aqui, considera-se que $0^{0}$ vale $1$
$B_{n}(x)$ é um polinômio de Bernoulli.
$B_{n}$ é um número de Bernoulli, e aqui, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$
$E_{n}$ é um número de Euler.
$\zeta (s)$ é a função zeta de Riemann.
$\Gamma (z)$ é a função gama.
$\psi _{n}(z)$ é uma função poligama.
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ é um polilogaritmo .
$n \choose k$ é o coeficiente binomial
$\exp(x)$ denota a exponencial de $x$

FUNÇÕES ZETA GAMA DE GRACELI.

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx=

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] / $\zeta (s)$ [-,+, *, / ] $\Gamma (z)$ [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx=

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] / $\Gamma (z)$ [-,+, *, / ] $\zeta (s)$ [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx=

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx =

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx=

$\psi (s)$ $\exp(x)$ $n \choose k$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] / $\zeta (s)$ [-,+, *, / ] $\Gamma (z)$ [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx=

$\psi (s)$ $\exp(x)$ $n \choose k$ [PK] / [ ${{\ln(n!)} \over n}$ ] [-] [n! ] / $\Gamma (z)$ [-,+, *, / ] $\zeta (s)$ [-,+, *, / ] $\operatorname {Li} _{s}(z)$ dx=

Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

Aqui, considera-se que $0^{0}$ vale $1$
$B_{n}(x)$ é um polinômio de Bernoulli.
$B_{n}$ é um número de Bernoulli, e aqui, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$
$E_{n}$ é um número de Euler.
$\zeta (s)$ é a função zeta de Riemann.
$\Gamma (z)$ é a função gama.
$\psi _{n}(z)$ é uma função poligama.
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ é um polilogaritmo .
$n \choose k$ é o coeficiente binomial
$\exp(x)$ denota a exponencial de $x$

Integrais de Fresnel, S(x) e C(x), são duas funções transcendentais, cujo nome advém de Augustin-Jean Fresnel, que são usadas em óptica. Advieram da descrição do fenômeno de difração de Fresnel em campos próximos (sugerido do inglês, near field) e são definidos pelas seguintes representações de integral:

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

A simultânea equação paramétrica de S(x) e C(x) é a Espiral de Cornu (também conhecida como clotóide e como espiral de Euler).

Definição

Os integrais de Fresnel admitem a seguinte série de potências que convergem para todo o x:

Integrais de Fresnel normalizados, S(x) e C(x). Nestas curvas o argumento da função trignométrica é πt²/2, por oposição a t² como acima.

S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}

C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}

Alguns autores, incluindo Handbook of Mathematical Functions, (eqs 7.3.1 – 7.3.2) usam ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ para o argumento dos integrais definindo S(x) e C(x). Para conseguir estas funções, multiplicam os integrais acima por ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ e multiplicam o argumento x por $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .

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